函数 极限 连续
东篱
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231
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高数

1350 字
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6 分钟

函数是高数研究的对象，而极限是研究函数的工具，而本章将通过极限这个工具，研究函数的连续性。

函数

课程要点

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函数的概念

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  • 因为定义域和对应法则有了，值域也就确定了。

下面是一些常用的函数

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复合函数

内层函数值域和外层函数定义域的交集不为空才能复合

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例题

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反函数

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  • 单调函数一定有反函数，但是有反函数不一定单调。
  • 有反函数的充要条件是，定义域内任取两个不相等的数，他们所对应y值也一定不相等，即f是定义域到值域的一一映射。

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  • 注意，反函数x和y位置互换的两种写法虽然没有问题，但是其图像是不一样的，是关于x=y对称的，详见第三题。

  • 第四题是映射过去又映射回来了，所以答案是x不变。

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  • 上面这个例三讲解了如何求反函数，其实就是将x用y表示出来，我们可以发现式子里面有个e的x次方，我们先将e的x次方用y表示出来，剩下的工作就简单了。
  • 具体的解题步骤如下：

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初等函数

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函数的性质

单调性和奇偶性

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周期性

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有界性

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奇偶性

加法

  • 偶函数+偶函数=偶函数
  • 奇函数+奇函数=奇函数
  • 偶函数+奇函数=非奇非偶函数

乘法

  • 偶函数 × 偶函数 = 偶函数
  • 奇函数 × 奇函数 = 偶函数
  • 偶函数 × 奇函数 = 奇函数

极限

课程要点

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数列的极限

概念

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  • 因为该函数奇数列极限=偶数列极限=1，所以原数列极限也等于1

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常用基本结论

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证明：

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  • 后面很多地方会用到第二条结论，因为取绝对值之后就没有正负号的干扰，进行一些放缩操作就更加容易了。

函数的极限

自变量趋于无穷大

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  • 注意，函数极限可以推出数列极限，而数列极限不能推出函数极限（一般可以推特殊，而特殊不能推一般）。
  • 我们有时候求数列极限，就是先求函数极限，然后由此推出数列极限。

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自变量趋于有限值

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左极限与右极限

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典型例题

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该例子中很明显考察了左右极限问题的第二条，这种一定要分左右极限来单独讨论。

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极限的性质

有界性

注意下面这两条反过来都不成立，证明其不成立，举反例即可，我们学习过程中应该积累一些常用的反例。

我单开了一篇文章专门整理反例和常见错误，详见：高数常用反例及经典错误

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保号性

  • 极限值的正负保数列项的正负（不带等号）
  • 数列项的正负保极限值的正负（带等号）

不管是数列还是函数，一定要记住，极限值保数列（函数）项不加等号，数列（函数）项保极限值加等号。

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经典例题

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也可以用排除法来解这道题，题目中出现一般函数时，我们就可以使用排除法，何为一般函数？其实就是只告诉哦我们 f 满足什么条件，但没有给出 f 的表达式。比如这道题只知道极限等于-1，但是不知道 f 是啥。

换句话说，一般函数就是一般普适情况下的函数，而非某种具体表达式的特殊情况。

那么出现一般函数的情况下我们该如何使用排除法呢？实际上我们需要找一些特殊函数（具体函数），证明三个选项是错的，那么就能找到正确选项了。

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极限值与无穷小的关系

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注意，三条性质中最重要的是保号性。

极限存在准则

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夹逼准则

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单调有界准则

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无穷小量

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例题

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无穷小的性质

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无穷大量

概念

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常用无穷大量的比较

无穷大量的比较是相当有用的，通过无穷大量的比较，很多题我们根据函数类型就能直接得出结论。

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该例题中f，g，h分别为对数，幂，指数，通过无穷大量比较即可得出答案为C。

无穷大量的性质

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无穷大量与无界变量的关系

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无穷大量与无穷小量的关系

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极限内容总结

  • 概念
  • 性质
  • 存在准则
  • 无穷小
  • 无穷大
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